روابط آربیتراژی و قیمت گذاری قراردادهای آتی

به طور کلی وجود ابزار مشتقه برای استفاده پوشش دهندگان ریسک است که قصد دارند کالا را از نوسانات قیمت مصون نگه دارند. در حالیکه در بازار آربیتراژورها و سفته بازان نیز حضور دارند و بر کارایی بازار تاثیر بسیار بسزا و مثبتی می گذارند. آربیتراژورها افرادی هستند که موقعیت های معاملاتی مختلفی در بازارهای مختلف به صورت همزمان باز می کنند و با حجم سرمایه گذاری صفر به سود بدون ریسک و مطمئنی دست می یابند. اما سفته بازان سعی در پیش بینی قیمت و منتفع شدن از یک بازار را دارند. در این مقاله به شما خواهیم آموخت که چگونه می توان بر اساس عملیات آربیتراژ، قراردادهی آتی را قیمت گذاری کرد.

قیمت گذاری قرارداد آتی (فیوچرز) بر اساس روابط آربیتراژگر

با توجه به شباهت قراردادهای سلف یا همان پیمان های آتی (Forward Contract) با قراردادهای آتی (Future Contract)، از روابط آربیتراژی قرارداد سلف می توان برای قراردادهای آتی نیز استفاده کرد.

قیمت قراردادهای سلف براساس قیمت نقد دارایی پایه قرارداد و همچنین نرخ بهره می تواند تا سر رسید تغییرات زیادی داشته باشد.

قراردادها را می توان براساس عملیاتی که آربیتراژورها انجام می دهند قیمت گذاری کرد. برای قیمت گذاری قرارداد سلف باید ابتدا به دارایی پایه قرارداد سلف توجه نمود. دارایی پایه می تواند یک دارایی مالی یا دارایی مصرفی باشد. دارایی های مالی به دارایی های مالی با درآمد و بدون درآمد دسته بندی می شوند.

ساده ترین نوع قیمت گذاری مربوط به قراردادهایی است که دارایی پایه آنها یک دارایی مالی بدون درآمد مانند طلا است. از این رو ابتدا روابط آبیتراژی این نوع قراردادها را بررسی می کنیم. این رابطه به قرار زیر است:

در این رابطه:

.S قیمت نقد دارایی پایه (Spot Price)

e عدد 2.718282

r نرخ بهره

t  مدت زمان تا سررسید

.f قیمت قرارداد سلف (Forward Price)

این فرمول در واقع فرمول ارزش زمانی پول است که به صورت ارزش آتی پیوسته محاسبه شده است.

در کل به دو صورت می توان ارزش زمانی پول را محاسبه کرد. یکی ارزش پیوسته و دیگری ارزش گسسته می باشد. در اینجا از روش ارزش پیوسته استفاده شده است. یعنی در هر لحظه سود محاسبه و سودِ سود در لحظه بعد محاسبه می شود. در محاسبه به روش گسسته می توان تا سررسید یک یا چند بار سود محاسبه شود. یعنی هر چقدر دفعات پرداخت در روش گسسته بیشتر شود ارزش آتی نیز بیشتر می شود. ولی در عمل تفاوت ناچیزی بین محاسبه به صورت پیوسته و محاسبه به صورت گسسته با دفعات روزانه وجود دارد.

فرمول بالا این مسئله را نشان می دهد که اگر قیمت قرارداد سلف بیش از .f باشد یک آربیتراژور می تواند قراردادی را در بازار به فروش برساند و مبلغی را با نرخ r با سر رسید t قرض کرده و دارایی پایه قرارداد سلف را با وجه استقراضی خریداری کند.سپس طبق قرارداد دارایی مورد نظر را در سررسید تحویل داده و مبلغ مورد نظر را دریافت کند. بدین ترتیب پس از تسویه بدهی خود مبلغی نیز بعنوان سود نزد وی باقی می ماند.

بنابراین آربیتراژگر توانسته بدون اینکه یک واحد از خود پولی به میان آورده باشد به سود مطمئن و بدون ریسکی دست یابد. این سود حاصل قیمت گذاری اشتباه قرارداد سلف توسط بازار است.

حال، برعکس این مطلب نیز صادق است. یعنی اگر قیمت قرارداد در بازار کمتر از .f باشد آربیتراژور با خرید قرارداد و فروش دارایی پایه (با قرض گرفتن دارایی و فروش آن) و سپرده کردن وجه آن با نرخ r در مدت t می تواند دارایی را در سررسید تحویل بگیرد و قیمت آن را بپردازد و میزانی از بابت بهره سپرده، سود کند.

پس طبیعی است که هر چقدر سررسید قرارداد طولانی تر باشد قیمت قرارداد نیز بیشتر می شود. عملیات آربیتراژگر قیمت قرارداد را به نرخ منطقی آن می رساند. زیرا در حالتی که قیمت قرارداد، کمتر از نرخ واقعی است تقاضا برای موقعیت خرید بیشتر شده و این عمل قیمت قرارداد را بالا می برد. از سوی دیگر عرضه دارایی پایه در بازار نقد نیز افزایش یافته که این امر موجب کاهش قیمت دارایی پایه می گردد. برعکس، زمانیکه قرارداد بیش از ارزش واقعی در بازار معامله می شود آربیتراژگر با اتخاذ موقعیت فروش قرارداد سلف و خرید دارایی پایه در بازار، قیمتها را به نقطه تعادلی می رساند.

قرارداد آتی همان قرارداد سلف است با این تفاوت که در قرارداد سلف، معامله فقط یک بار موقع بستن موقعیت در بازار، تسویه حساب می شود. در حالیکه قراردادهای آتی هر روز به قیمت تسویه حساب روزانه، تسویه می شوند. یعنی در پایان روز کلیه موقعیت ها بسته شده و در روز بعد با قیمتی جدید باز می شوند. چه در قرارداد سلف و چه در قرارداد آتی، هر طرف معامله مبلغی به عنوان وجه تضمین جهت پوشش ریسک نکول، باید به میان بگذارند.

تسویه حساب در این قراردادها به اینصورت است که کل سود و زیان معامله (یعنی فروش منهای خرید، حال می خواهد فروش ابتدا صورت گیرد یا خرید ابتدا) بر روی وجه تضمین اولیه اعمال می شود و از حساب افراد متضرر برداشته و به حساب افراد منتفع واریز می شود. خاصیت اهرمی معاملات در همین جا مشخص می شود و با مبلغ ناچیزی می توان به کل سود و زیان معامله دست یافت.

تاثیر وجه تضمین اولیه در قیمت گذاری قرارداد آتی یا فیوچرز 

حال چگونه می توانیم قیمت قرارداد آتی را محاسبه کنیم؟ محاسبه قیمت قرارداد آتی بسیار پیچیده است ولی اگر سررسید قرارداد آتی طولانی نباشد می توان از رابطه آربیتراژی قرارداد سلف برای قرارداد آتی نیز استفاده کرد چرا که در سررسیدهای کوتاه تفاوت قیمتی ناچیزی باهم دارند.

در اینجا می خواهیم وجه تضمین اولیه(Initial Margin) را هم به فرمول اضافه کنیم. بنابراین رابطه آربیتراژی از تغییر کرده و به صورت پدیدار می شود.

در این رابطه: .F قیمت قرارداد آتی(Future Price) و IM وجه تضمین اولیه می باشد. این فرمول به این معنی است که اگر فردی بخواهد آربیتراژ کند و برای مثال در قرارداد آتی موقعیت فروش باز کرده و وجهی استقراض کند تا در بازار نقدی دارایی پایه را تهیه کند باید علاوه بر قیمت دارایی پایه مبلغی اضافه بابت وجه تضمین مقروض شود که رابطه به صورت نمایان می شود.

بر عکس اگر آربیتراژگر در قرارداد، موقعیت خرید بگیرد و دارایی پایه را بفروشد تمام پول خود را نمی تواند سپرده کند و قسمتی از آنرا باید بعنوان وجه تضمین به میان گذارد که به صورت نوشته می شود. بنابراین یک کرانه قیمتی ایجاد می شود که اندازه آن بستگی به میزان وجه تضمین اولیه دارد.

هر چه وجه تضمین اولیه بیشتر باشد این کرانه قیمتی نیز بزرگتر خواهد شد. در این رابطه فرمول اولیه یعنی دقیقا نقطه وسط این کرانه است. بنابراین نمی توان بطور دقیق قیمتی را برای قرارداد آتی مشخص کرد. با این تفاسیر قیمت قرارداد می تواند در دو محدوده قرار گیرد. یکی کرانه پایین است که بین تا می باشد و دیگری کرانه بالا است که بین تا قرار می گیرد.

اگر قیمت قرارداد به سمت سقف کرانه حرکت کند ممکن است که تمایل برای فروش قرارداد و تحویل دارایی پایه در سررسید افزایش یابد که این امر منجر به کاهش قیمت می شود یا اینکه به عنوان خوشبینی بازار نسبت به قرارداد بتوان آنرا تعبیر کرد. عکس این قضیه نیز صادق است اگر قیمت به سمت کف کرانه حرکت کند ممکن است تمایل برای خرید و تحویل گرفتن در سر رسید افزایش یابد یا اینکه بعنوان بدبینی بازار بتوان آنرا تعبیر کرد.

حال می توانیم فرض می کنیم که وجه تضمین اولیه صفر و قیمت بر فرمول آربیتراژی استوار باشد. اینک می توانیم تمام اجزای فرمول را در سر جای خود قرار دهیم غیر از rt که به جای آن x گذاشته و سعی می کنیم تا میانگین موزونی از هزینه فرصت سرمایه گذاران را بدست آوریم. بعد از محاسبه x آنرا در معادله rt=x قرار داده و مجهول r را محاسبه می کنیم.

قیمت گذاری قرارداد آتی بر اساس روابط آربیتراژی – دارایی پایه: دارایی مالی با درآمد 

تا اینجا رابطه آربیتراژی قرارداد آتی با دارایی پایه مالی بدون درآمد را بررسی کردیم و اثر وجه تضمین اولیه بر عملیات آربیتراژ گر را در نظر گرفتیم. حال اگر دارایی پایه قرارداد آتی یک دارایی مالی با درآمد مانند سهام باشد رابطه آربیتراژی به صورت نمایش داده می شود.

در این فرمول I ارزش فعلی درآمد دارایی پایه است. این فرمول به ما می گوید که اگر قیمت قرارداد آتی در بازار کمتر از .F باشد شخصی که دارایی پایه را دارد و آنرا می فروشد تا وجوه حاصل از فروش را سپرده کند ارزش فعلی درآمد آن دارایی را از دست می دهد.

همین طور اگر .F بیش از حد قیمت گذاری شده باشد یک شخص می تواند در قرارداد آتی موقعیت فروش اتخاذ کند و با وجه قرضی دارایی مورد نظر را خرید کند و در سررسید تحویل دهد. از آنجا که دارایی پایه دارای درآمد است مبلغ کمتری جهت بازپرداخت بدهی لازم است.

قیمت گذاری قرارداد آتی بر اساس روابط آربیتراژی – دارایی پایه: دارایی مصرفی

مشکل ترین نوع قیمت گذاری مربوط به قراردادهای آتی است که دارایی پایه آنها یک کالای مصرفی مانند فولاد، گندم یا هر کالای دیگری است. قیمت گذاری این نوع قراردادها از آنجا مشکل است که داشتن کالا برای صاحب آن مطلوبیتی دارد که داشتن قرارداد آتی ندارد.

برای مثال داشتن ورق های فولادی در انبار یک شرکت خودرو سازی مطلوبیت و آسودگی خیال بیشتری نسبت به داشتن یک موقعیت خرید ورق فولادی دارد. این مطلوبیت به صورت درصد بیان می شود و از نرخ r که در توان عدد نپر e قرار دارد کسر می شود. بنابراین رابطه آربیتراژی این نوع قراردادها بصورتمی باشد.

در نظر داشته باشید که نگهداری کالاهای مصرفی معمولا همراه با هزینه انبارداری هستند. این هزینه انبارداری به قیمت دارایی یا همان .S اضافه می شود. حال خودتان می توانید وجه تضمین اولیه را نیز به فرمول اضافه کنید. برای اینکار وجه تضمین اولیه را یکبار از .S کسر و یکبار به آن اضافه می کنیم.

رابطه سر رسید و قیمت قرارداد آتی

قیمت قراردادهای آتی گاهی اوقات بیشتر از قیمت نقد دارایی پایه و گاهی کمتر از قیمت نقد دارایی پایه می باشد. این رابطه در شکل زیر نمایش داده شده است.

همانگونه که مشاهده می شود هر چه به سر رسید قرارداد نزدیک می شویم قیمت نقد و قیمت قرارداد آتی به همدیگر نزدیکتر می شوند تا اینکه در تاریخ سررسید تقریبا اختلافی با یکدیگر ندارند. زیرا با نزدیک شدن به سر رسید از طرفی تاثیر ارزش زمانی پول، کمتر می شود و از طرف دیگر احتمال نوسانات دارایی پایه کمتر خواهد بود.

همچنین با توجه به فرمول آربیتراژی به طور معمول قیمت آتی از قیمت نقد دارایی بالاتر خواهد بود. فقط زمانی قیمت قرارداد آتی پایین تر از قیمت نقد دارایی پایه خواهد بود که اولا دارایی پایه یک دارایی مصرفی باشد و دوما درصد مطلوبیت دارایی پایه از درصد نرخ بهره بیشتر باشد.

خوانندگان این مقاله در نظر داشته باشند که اضافه شدن وجه تضمین اولیه به فرمول آربیتراژ، نظر شخصی نویسنده مقاله می باشد و ممکن است در هیچ کتاب یا مقاله مالی دیگری با آن برخورد نکنید. بنابراین خوب است که شخصا درباره آن تامل کنید.