میانگین، یک ابزار آماری است که تقریبا در همه جا بطور گسترده از آن استفاده می شود. ساده ترین نحوه محاسبه میانگین مربوط به میانگین حسابی است. در این نوع میانگین، چندین رقم با یکدیگر جمع و تقسیم بر تعداد رقم ها می شود. محاسبه میانگین حسابی بسیار ساده است. اما انواع دیگری از میانگین ها شامل میانگین هندسی، میانگین موزون یا وزنی و میانگین هارمونیک نیز وجود دارند که محاسبه آنها اندکی پیچیده تر است.
گاهی اوقات در مباحث مالی، یک میانگین ساده حسابی نمی تواند توصیف خوبی از میانگین به ما بدهد و لازم است تا از سایر انواع میانگین ها استفاده کنیم. درک تفاوت این چهار نوع میانگین برای افرادی که در زمینه مالی فعالیت می کنند بسیار حائز اهمیت است. همچنین اگر تمایل به شرکت در آزمون های بین المللی مالی مانند CFA و FRM دارید حتما بایستی این مفاهیم را به خوبی فرا بگیرید.
با توجه به سادگی محاسبه میانگین حسابی، بیش از این درباره آن بحث نمی کنیم و به سراغ انواع دیگر میانگین می رویم. همچنین در بحث آمار، علامت N به معنی کل تعداد مشاهدات و Xi به معنی رقم i ام در سری مشاهدات ما می باشد.
میانگین هندسی
میانگین هندسی جهت تعیین میانگین تغییرات چندین درصد مختلف در یک بازه زمانی مورد استفاده قرار می گیرد. برای مثال، میانگین بازده سبد سرمایه گذاری یا یک سهم می تواند از طریق میانگین هندسی محاسبه شود.
جهت محاسبه میانگین هندسی بایستی ابتدا عدد یک را به هر کدام از درصدها اضافه کنیم. سپس اعداد بدست آمده را در هم ضرب کرده و حاصل آن را به توان
می رسانیم. از آنجاییکه عدد یک را با تک تک مشاهدات جمع کرده بودیم در انتها کسر می کنیم. بعد می توانید جواب را در 100 ضرب کنیم و میانگین را به درصد بیان کنیم.
علت افزودن عدد یک به نرخ ها این است که اگر بازده یک دوره منفی یا صفر باشد نمی توانیم آن را به توان (جذر با ریشه N) برسانیم.
مثال: بازده یک سبد سرمایه گذاری در 4 سال متوالی به ترتیب 8%، 4%، 2%- و 6% می باشد. میانگین هندسی و میانگین حسابی برای این سرمایه گذاری به شرح زیر خواهد بود.
4% = 4/(8%+4%-2%+6%) = میانگین حسابی 3.93%= 100* 1- [(1/4)^(1.06* 0.98* 1.04* 1.08)] = میانگین هندسی
اختلاف این دو میانگین برابر 0.07% می باشد.
میانگین موزون یا میانگین وزنی
نوع دیگری از میانگین که معمولا در بحث مالی به ویژه در زمان محاسبه بازده یک پرتفوی در بازه مشخص، مورد استفاده قرار می گیرد میانگین موزون می باشد. زمانیکه میانگین حسابی محاسبه می شود همه مشاهدات دارای وزن یکسانی هستند. اما در زمان محاسبه میانگین موزون، هر مشاهده دارای وزن متفاوتی است. جهت محاسبه میانگین موزون ابتدا وزن هر رقم در آن ضرب می شود و سپس ارقام بدست آمده با هم جمع می شوند.
مثال: یک تحلیلگر می خواهد بازده یک پرتفوی 1 میلیون دلاری که از سه دارایی تشکیل شده است را محاسبه کند. دارایی های پرتفوی شامل 500،000 دلار سهام، 350،000 دلار اوراق قرضه و 150،000 دلار سهام شرکتهای خارجی می باشد. میزان بازده سهام داخلی 8%، اوراق قرضه 3% و سهام بین المللی 12% می باشد. حال، بازده کل پرتفوی چقدر است؟
ابتدا بایستی وزن هر دارایی در سبد سرمایه گذاری را بیابیم. برای این کار، مبلغ اولیه هر سرمایه گذاری تقسیم بر کل مبلغ سرمایه گذاری می شود. بدین ترتیب، وزن سهام برابر 50%، اوراق قرضه برابر با 15% و سهام خارجی 35% می باشد. حال کافی است وزن هر دارایی در بازده آن دارایی ضرب و حاصل با یکدیگر جمع شوند.
6.85% = 100* [(0.12*0.15)+(0.3*0.35)+(0.08*0.5)] = میانگین وزنی
میانگین هارمونیک
استفاده از میانگین هارمونین تنها زمانی مفید است که نرخ های مختلف بر روی یک رقم ثابت اعمال می شوند. جهت محاسبه میانگین هارمونیک، عدد 1 را بر تک تک مشاهدات تقسیم می کنیم. سپس اعداد بدست آمده را با هم جمع می کنیم. در نهایت، با تقسیم تعداد مشاهدات(N) بر مجموع بدست آمده، میانگین هارمونیک بدست خواهد آمد.
یک نمونه از کاربردهای میانگین هارمونیک زمانی است که سرمایه گذار، یک سهم را در قیمت های مختلف خریداری کرده است و می خواهد میانگینی از بهای خرید را محاسبه کند.
مثال: یک مشاور مالی قصد دارد میانگین بهای خرید دارایی یکی از مشتریانش را که محاسبه کند. مشتری در سه ماه متوالی، هر ماه رقم 2،000 دلار را به خرید یک ورقه بهادار اختصاص داده است. قیمت های خریداری شده به ترتیب 25، 29 و 27 دلار بوده است. میانگین قیمت پرداخت شده برای این ورقه بهادار چقدر بوده است؟
26.9$ = 3 /(1/25 + 1/29 + 1/27) = میانگین هارمونیک
سخن آخر
یک میانگین ساده حسابی همیشه نمی تواند راه حل مسئله ما باشد. علاوه بر میانگین های اشاره شده در این پست، انواع دیگر میانگین نیز وجود دارد. برای مثال، زمانیکه میانگین داده های عظیم با مشاهدات پراکنده تجزیه و تحلیل می شود از “میانگین خلاصه شده (Trimmed mean)” یا “میانگین برنده شده (Winsorized mean)” استفاده می شود. همچنین در تحلیل نمودار ممکن است از میانگین نمایی استفاده شود که به مشاهدات آخر، وزن بیشتری داده می شود.
بنابراین با توجه به شرایط بایستی بهترین نوع از انواع میانگین را انتخاب کنیم. در غیر این صورت، نتیجه تحلیل می تواند گمراه کننده باشد.
