فرمول انحراف معیار و نحوه محاسبه آن + مثال

انحراف معیار یا انحراف استاندارد چیست؟

از نظر علم آمار، انحراف معیار یک سری از داده ها، نشاندهنده میزان پراکندگی داده ها از یکدیگر است. از نقطه نظر مالی، انحراف معیار می تواند در تعیین میزان ریسک و حداقل نرخ بازده مورد انتظار سرمایه گذاریها مورد استفاده قرار گیرد.

فرمول انحراف معیار

با استفاده از فرمول زیر می توانیم مقدار انحراف معیار یک سری از داده را بدست آوریم.

در این فرمول:

ri- هر بازده در کل مشاهدات (هر رقم در داده ها)

ravg- میانگین کل مشاهدات یا همان داده ها

n- تعداد مشاهدات

با محاسبه انحراف معیار، ما در واقع واریانس را نیز محاسبه می کنیم. اگر از فرمول فوق، علامت جذر را حذف کنیم به واریانس دست می یابیم.

همچنین در نظر داشته باشید که فرمول فوق مربوط به انحراف معیار نمونه است. اگر جامعه آماری بزرگ باشد، شما نمی توانید همه داده ها را در محاسبه خود بیاورید. بنابراین از انحراف معیار نمونه استفاده می کنید و نتیجه را به کل جامعه تعمیم می دهید.

برای محاسبه انحراف معیار جامعه بایستی منهای یک (1-) را از مخرج کسر، حذف کنید.

مثال انحراف معیار

یک سرمایه گذار قصد دارد انحراف معیار سبد سرمایه گذاری خود را که چهار ماه است آن را نگهداری کرده محاسبه کند. در جدول زیر بازده های تاریخی هر ماه را بصورت جداگانه مشاهده می کنید.

جهت محاسبه انحراف معیار، اولین قدم محاسبه میانگین است.

همانگونه که مشاهده شد میانگین چهار رقم فوق 5.5% می باشد.

حال اعداد را در فرمول قرار می دهیم تا انحراف معیار بدست آید.

انحراف معیار 10.34%  بدست آمد.

در حال حاضر، سرمایه گذار می داند که بازده ماهانه پرتفوی یا همان سبد سرمایه گذاری او تقریبا نوسان 10 درصدی داشته است. با این اطلاعات سرمایه گذار می تواند پرتفوی خود را از نظر ریسک به سطح قابل قبول خودش نزدیک تر کند.

اگر سرمایه گذار اهل ریسک باشد و بدنبال سرمایه گذاری های پر ریسک با بازده بالا باشد می تواند اوراق با بازدهی بالاتر را به پرتفوی خود اضافه کند. بدین ترتیب انحراف معیار سبد سرمایه گذاری او نیز بالاتر خواهد رفت.

بالعکس اگر سرمایه گذار، یک شخص ریسک گریز باشد و با انحراف معیار بالای سرمایه گذاری، احساس آرامش خود را از دست می دهد سهام بزرگ را به پرتفوی خود اضافه می کند تا بازدهی سرمایه گذاری او نوسان کمتری داشته باشد.

توزیع نرمال بازده

تئوری توزیع نرمال بیان می کند که منحنی بازدهی یک سرمایه گذاری به شکل زنگ می باشد. همچنین منحنی توزیع نرمال به ما نشان می دهد که چه میزان از مشاهدات در کدام بخش از منحنی قرار می گیرد. این توزیع بصورت زیر می باشد:

• 68% از بازده ها در فاصله یک انحراف معیار از میانگین قرار دارند.
• 95% از بازده ها در فاصله دو انحراف معیار از میانگین قرار دارند.
• 99% از بازده ها در فاصله سه انحراف معیار از میانگین قرار دارند.

تصویر زیر این مفهوم را نشان می دهد.

همانگونه که مشاهده شد انحراف معیار، یک ابزار بسیار مفید در کمی کردن میزان ریسک یک سرمایه گذاری است. رصد کردن انحراف معیار پورتفوی و تعدیل پویای آن به سرمایه گذار کمک می کند تا ریسک سرمایه گذاری را متناسب با میزان ریسک پذیری خود تغییر دهد.